МАЛА МАТУРА

Уобичајен

Драги осмаци, као што знате  малу матуру (завршни испит ) полажете у јуну.

Иако тако не изгледа, остало је још мало времена за спремање и обнављање градива.

Збирке  и тестове из ранијих година  можете користити да вежбате. Срећан рад.

zbirka 2010-2011

zbirka 2014-15

Advertisements

π –MISTERIJA UNIVERZUMA

Уобичајен

Najverovatnije da ni jedan simbol u matematici nije izazvao toliko znatiželje i čuđenja kao broj π. Grcko slovo π koristi se u matematici kao simbol kojim obelezavamo odnos izmedju obima kruga i njegovog precnika. Ako pogledamo unazad, kroz vekove, tesko je odrediti granicu od koje počinje pominjanje ove konstante. Činjenica da je odnos obima kruga i prečnika kruga konstantan bila je poznata toliko dugo da je to nemoguće pratiti. Medjutim , jedno je sigurno, toliko angazovanja, truda, enrgije i volje , gotovo da nijedan matematicki ‘problem’ (izum) nije izmamio iz ljudi. Ovom ‘misterijom’ bavili su se svi veći umovi , ona je učestvovala u izgradnji istorije matematike, od vremena starih Grka i pre, pa sve do danasnjih dana, kada je pojava računara bacila u senu mnoge druge matematičke nedoumice.

Priča o broju  π  pokazala se kao najprofesionalnija, najozbiljnija strana matematike. Iznenađuje izrazito velik broj potvrdjenih matematickih veličina koje su direktno ili indirektno povezane sa ovim brojem. Tako je vremenom π  postao deo ljudske kulture i obrazovane moći. Vreme o kome govorimo meri se sa preko 25 000 godina.

Ako pokušamo da pratimo izračunavanje ovog broja kroz vreme, ustvari ćemo se baviti istorijom matematike.On će nas provesti kroz geometriju, analizu, numeričku analizu, algebru i teoriju brojeva.

Vekovima su matematičari pokušavali da tačno , do poslednje decimale, izračunaju broj π. Sada znamo da taj broj ne moze ‘tačno’ da se izračuna i to ne zbog nemogućnosti današnjih računara već zbog posebne osobine ovog broja. Ali ipak ‘trka za njegovim decimalama’ se nastavlja, čak iako je poznato da sa relativno malo decimala mozemo izračunati obime gigantskih krugova, npr. poluprečnika udaljenost Zemlja-Sunce.I pored novih saznanja o ovom broju, koja su razotkrila sve njegove tajne, senka zaborava nije ga prekrila. Dakle, π jos uvek pleni svojom snagom i kao da prkosi ljudima i vremenu.

π  je matematička konastanta, danas široko rasprostranjena u matematici i fizici. Njena približna vrednost je 3,14159.

Oznaka za broj „pi”  potiče od grčke reči „perimeter” (περίμετρος), što znači dužina krive koja ograničava neku ravan. U matematiku ju je uveo Vilijam Dzouns 1707.   godine, a popularizovao ju je Leonard Ojler.

 π je iracionalan broj. Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja  i  nije periodičan.

Numerička vrednost broja π  zaokružena na 64 decimalna mesta glasi :

π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

broj pi

broj pi

π je uvek isti bez obzira na veličinu kruga.

Izračunavanjem decimala broja π bavilo se hiljade matematičara i laika.

Neki od njih su bili i :

Ludolph van Ceulen rođen je 28 januara 1540 godine u Hildsheimu, Nemačka, a umro je 31 decembra 1610 u Lejdenu, Holandija. Postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja  π sa 35 decimalnih mesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći deo svog života računajući π  i zato ne čudi istorijski podatak da je 35 decimala broja π ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Nemackoj broj π dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u čast.

Georg Freiherr von Vega rođen je 23 marta 1754 u Zagorici, kraj Ljubljane (Slovenija), a umro je 26 septembra 1802 u Beču (Austrija). On je izračunao π  do 136  decimale. Svoj rad objavljuje 1789 godine. Ostaće zapamćeno u istoriji matematike da se taj rekord održao 50 godina.

Englez,William Shanks,(rodjen 25 januara 1812 godine u Northumberland-u u Engleskoj, umro je 1882 godine u Durhamu, Engleska) koristio je Mašinovu formulu da izračuna π do 707 decimalnog mesta, i objavio je rezultate svog mnogogodisnjeg rada 1873 godine. Shanks izračunava 707 mesta od kojih je 527 tačno. Tek 1947. je otkriveno da je 528 decimala pogrešna.

Koliko li je godina trajao njegov račun?  Da li se čim otvori oči pitao gde je stao?

Dobro je da nikada nije saznao da postoji greška u njegovom računu.

Isak Njutn je pisao prijateljima„Nemajući u ovom času šta da radim izračunao sam 16 decimala broja π”

Evo još jedna zanimljivost vezana za broj π .  707 decimala koje je izračunao William Shanks  je ispisano na frizu okrugle sobe, posvećene broju  π , u Palati otkrića u Parizu  Palata je bila  sazidana za veliku  Svetsku izložbu  1900.godine , baš   kada je podignut i Ajfelov toranj.  Kada se otkrilo da ima greška u 528oj decimali ostatak decimala je obrisan i ponovo uklesan sa tačnim ciframa

Na sledećoj slici je soba broja π   u palati otkrića.

π- u vodi, vazduhu i na zemlji

  • U ravni je  prava najkraće rastojanje izmedju dve  tačke. Ako vam je duša lutalačka i hteli biste da idete  putem koji je kružan, biče duže. Koliko duže ? Biće     π/2   puta  duže.
  • Izvesni astronomi smatraju da je π prisutno na nebu u kosmičkim odnosima i položaju zvezda.
  • Dok je na zemlji π  povezano sa velikim sporim rekama. Odnos u vazdušnoj liniji od izvora do ušća sa stvarnom dužinom reke sa njenim meandrima i prevojima je približno 3,14. Reka Amazon je jedan od primera.

Zadatak : U kojim se matematičkim formulama  javlja broj π ?

Питагорина теорема

Уобичајен

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

 Питагорина теорема гласи: Квадрат дужине хипотенузе правоуглог троугла једнак је збиру квадрата дужина катета истог троугла. Математичка формула питагорине теореме гласи : a2+b2=c2, где је  c  дужина хипотенузе правоуглог троугла , а a  и b су дужине катета тог правоуглог троугла.

 

Питагорина теорема је једна од најзначајнијих математичких теорема. На основу ње је створен фрактал (геометријски лик који се може разложити на мање делове тако да је сваки од њих , макар приближно умањена копија целине) који зовемо питагорино дрво.

Питагорино дрво је равански фрактал конструисан помоћу квадрата. Добио је име по Питагори зато што свака тројка суседних квадрата својим заједничким теменима одређује правоугли троугао, у облику који се кор

И за крај наша песмица са часа која нам помаже да што лакше запамтимо Питагорину теорему:

Квадрат над хипотенузом то зна свако дете једнак је збиру квадрата над обе катете.

цитат из Нушићеве Аутобиографије

ПИТАГОРА

Уобичајен

 Питагора је старогрчки математичар. Роћен је на грчком острву Самосу око 560.    год.пре нове ере као син богатог трговца. Захваљујући томе Питагора је доста путовао и сретао се са многим мислиоцима који су га подучавали филозофији и науци. Један од тих учитеља био је и Талес из Милета. Он је саветовао Питагору да отпутује у Египат и тамо учи о математици и астрономији.

Када се Питагора вратио са свог путовања по Египту отишао је на југ Италије у место Кротон. Основао је филозофску и религиозну школу, у којој је држао предавања својим ученицима и са њима расправљао о животу, математици, астрономији, музици а нарочито о бројевима.

У Питагорејској школи је владало заједништво и тајност па је тешко рећи шта је рад самог Питагоре, а шта његових ученика.  Питагорејце су занимале основе математике, појам броја ,троугла и самих доказа. Све оно што се нама данас чини јако логично и познато да се о томе не размишља.

Питагора је тврдио да се цео универзум може описати и објаснити бројевима.

Питагора је у математици најпознатији по теореми која му се приписује Питагорина теорема.